Re: Normalverteilung

Hallo Jens,
ich gebe bewusst keine Formeln an, in die man einfach nur Zahlen einsetzt.
Um Formeln sinnvoll einsetzen zu können, sollte man sie zunächst vollständig verstehen.
Das wird selbst von Auszubildenden in technischen Berufen erwartet.
Wenn ein Auszubildender im Maschinenbau zum Beispiel glaubt, dass jede Messung eine Schätzung sei, wird er seine Prüfung nicht bestehen.
Von Ingenieuren wird außerdem erwartet, dass sie die Herleitung der Formeln nachvollziehen können.
Das alles aus gutem Grund.
Jeder Techniker kennt folgende Sprüche und hat schon Anwendungsfälle gesehen:
Herr X misst Hausnummern
A fool with a tool is still a fool.
(Ein Narr mit Werkzeug bleibt ein Narr)
Trivialbeispiel: Herr X vermisst sich immer beim Messen mit dem Meter.
Man kauft ihm ein Messgerät mit Laserlängenmessung und hofft vergeblich, dass jetzt keine Fehler mehr passieren.

Ich habe darum ausführlich die beteiligten Zufallsprozesse und Variablen beschrieben, die ich in deinen Vorgaben finde und beschrieben, dass Du erwartungstreue Schätzer mit bekannter Konvergenz brauchst, um das zu erreichen, was Du ereichen willst.
Ich habe Dir das Beispiel der Funktion Limes(n->Unendlich)(n/(n + Konstante)) gegeben.
Für den Fall, dass ich unverständlich schreibe, habe ich Dir Quellen genannt, die dasselbe noch ein Mal in einer anderen Form mit zusätzlichen Informationen bringen.
Ich verstehe darum nicht, warum Du jetzt folgendes schreibst:
"Begründe bitte deine sehr großen Stichproben. Welchen Mehrwert haben sie gegenüber einer Stichprobe aus 50 Messungen? Ja, das Konfidenzintervall wird kleiner.
Wie soll denn "das Konfidenzintervall" kleiner werden?"
Dass Schätzungen bei größerer Stichprobengröße genauer werden, wusste ich schon als Grundschulkind.
Mein Opa war nämlich begeisterter Lottospieler.
Er hatte Tabellen, welche Zahlen im letzten Jahr am häufigsten gezogen wurden und glaubte höhere Gewinnchancen zu haben, wenn er die tippt.
Das war damals eine Stichprobe von ca. 50 Ziehungen im Jahr - = eine Stichprobe mit n = 50 - und man sah da deutliche Unterschiede in der Häufigkeit.
Er hatte aber auch Tabellen über die letzten 10 Jahre - = eine Stichprobe mit n = 500 - und da waren die Unterschiede schon viel kleiner.
Schon als Kind schloss ich daraus, dass seine Stichprobe über 1 Jahr nicht ausreicht, um herauszufinden, welche Zahlen am häufigsten kommen.
Ich habe diese Beispiel mit jemanden besprochen, mit dem ich über mehrere Jahre eine Fahrgemeinschaft hatte. Wir fuhren ein Mal pro Woche von Kaiserslautern nach Offenbach/Main.
Zu seinen Interessensgebieten gehören mathematische Probleme, insbesondere Statistik. Wir haben darum während der Fahrgemeinschaft häufig solche Probleme diskutiert.
Er ist übrigens kein Mathematiker, sondern war Beamter beim Wetterdienst.
Wir treffen uns seit einiger Zeit eher zufällig im Schwimmbad und wir haben diesen Dienstag über diese Diskussion gesprochen.
Er brachte folgendes Beispiel:
Beim Roulette kommt es früher durchaus vor, dass bestimmte Zahlen häufiger kamen als andere. (Auf Grund der Mechanik)
Nun kam es vor, dass Leute mit Hilfe genügend großer Stichproben herausfanden welche und mit dieser Kenntnis Gewinne bei der Spielbank erzielten.
Ich habe dazu eine Quelle gefunden:
https://statmodeling.stat.columbia.edu/2018/08/09/richard-jarecki-doctor-conquered-roul...
Zitat:
"Ms. Jarecki said that watching, or “clocking,” a wheel, as Mr. Barnhart described it, could mean observing more than 10,000 spins over as long as a month.
Sometimes a wheel would yield no observable advantage. But when Dr. Jarecki and company did find a wheel with a discernible bias, he would have an edge over the house.
“It isn’t something he invented,” Ms. Jarecki said. “It’s something he perfected.”
Herr Jarecki hat also eine Stichprobe mit n = 10000 gezogen, um genügend Genauigkeit zu erreichen, damit er Gewinne erzielt.
Die Casinos haben dann dafür gesorgt, dass der Tisch jede Nacht neu aufgesetzt wurde. Damit wanderte der Fehler und Herr Jarecki kam nicht mehr auf das nötige n.
Ich versuche jetzt noch ein Mal das mit deinem Problem zu zeigen:
Du schätzt den Mittelwert der Grundgesamtheit aus einer Stichprobe. Der Mittelwert ist das erste Moment der Grundgesamtheit.
Du hast keine Information darüber, wie genau die Schätzung ist.
Du schätzt aus der Stichprobe weiterhin die Streuung - das zweite Moment. Du weißt nicht, wie genau diese Schätzung ist.
Ich habe mal gelernt, dass das benötigte n mit der Höhe der Momente steigt.
Um zu wissen zu können ab welchem n Du welche Genauigkeit hast, müsstest Du die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Grundgesamtheit kennen.
Ein kleines Beispiel:
Es kann zum Beispiel vorkommen, dass eine Stichprobe die Länge einer Spore auf 6 Einheiten schätzt, eine andere auf 8 eine Dritte auf 10.
Es kann auch sein, dass die Schätzung viel besser ist: Du hast dann zum Beispiel Messungen von 8.1, 8.2 und 8.3.

Ohne möglichst genaue Schätzungen über die Grundgesamtheit, weißt Du nichts über deinen zu erwartenden Fehler.
In der Technik arbeitet man gerne mit einem Referenzmessgerät, das viel genauer misst als das Messgerät, das man vor sich hat und kalibriert damit.

Da Du das nicht hast, bleibt Dir nichts anderes übrig, als irgendwie mehr Informationen über die Grundgesamtheit zu bekommen.
Dabei gibt es wie gesagt nur zwei Möglichkeiten:
1. Stichprobe mit großem n
2. Mit Hilfe mehrerer mittelgroßer Stichproben Momente der Grundgesamtheit schätzen.
Möglichst auch noch Schiefe und Wölbung.
Der Haupttreffer im Lotto wäre es, wenn Du herausfinden würdest, dass die Grundgesamtheiten für verschiedene Pilzarten statistische Ähnlichkeiten haben, d.h. die Verteilungsfunktionen sind ähnlich.
Dann könntest Du viel höhere Genauigkeiten deiner Schätzungen erreichen.

Man sollte das Ganze mit einem Zufallsgenerator simulieren, der normalverteilte Zufallsvariable erzeugt.
Das ist aber tückisch.
Der "Informatik Papst" Donald E. Knuth schreibt zum Beispiel in seinen Büchern, dass er zahlreiche akademische Arbeiten gefunden hat, die mit Hilfe solcher Simulationen erzeugt wurden.
In vielen Fällen fand er, dass der verwendete Zufallsgenerator keine normalverteilten zufälligen Zahlen erzeugt.
Er schrieb dann, dass er eigentlich anregen müsste, den Leuten ihre akademischen Titel zu entziehen, es aber nicht getan hat.
Gleichverteilung kann man leicht simulieren. Bei anderen Verteilungen, zum Beispiel solchen mit 2 Maxima, muss man da eine Menge Gehirnschmalz investieren.

Ich pflege seit Anfang diesen Jahres meine 94jährige demente Mutter in Vollzeit.
Ich muss leider sagen, dass man bei täglichem Umgang mit einem dementen Menschen selbst sehr acht geben muss, seine eigene geistige Gesundheit zu erhalten.
Ich habe Sie gestern zum Beispiel zum Zahnarzt gebracht, wo man ihr in einer 2,5 Stunden langen Prozedur ihre drei letzten Zähne gezogen hat.
Sie hatte einen Teil ihres Gebisses in den Müll geworfen und braucht darum ein neues.
Ich musste bei der Behandlung helfen, weil 2 Menschen es nicht geschafft haben, sie genügend ruhig zu halten, weil sie die Schmerzen nicht mehr ertragen konnte.
Ich sehe mich darum leider nicht in der Lage momentan derart kniffliges Zeug zu programmieren.

Noch ein Wort zu den Analysen von Werner Jurkeit:
Er beschreibt alle Merkmale und gibt Hinweise zu deren Variabilität, die überhaupt zur Pilzbestimmung herangezogen werden können.
Das geht von "Ist die Huthaut glänzend?" zu "Wie ist das Sporenornament?"
Er befasst sich sehr genau mit mikroskopischen Merkmalen, von denen ich mir noch nicht einmal die Namen merken kann.
Ich habe zwar ein kleines Latinum, aber das hilft mir da eher nicht.
Ich kann mir nur die Zeichnungen ansehen und versuchen zu verstehen. Da habe ich aber noch viel Arbeit vor mir.

Gruß,
Marcel