Hallo Jens,
Du schreibst:
"Genau andersrum ist es doch richtig. Man nimmt die Normalverteilung an und muß
sie g.g.f. hinterher ablehnen."
Das ist genau der zentrale Punkt in deinen Ausführungen, mit dem ich ein Problem habe.
Bitte benenne Quellen, die belegen, dass das eine zulässige Vorgehensweise ist.
Ich schrieb:
"Und dann noch: https://de.wikipedia.org/wiki/Zentraler_Grenzwertsatz
Hier wird ein Grenzwert erzeugt. Das heißt da soll n-> Unendlich gehen.
Wie hoch das n in der Praxis sein muss, hängt davon ab, wie schnell das
konvergiert. Der Satz sagt nur aus, dass es irgendwann konvergiert."
Du schreibst:
"Aber erklärt nicht genau dieser die Annäherung an die Normalverteilung? "
Der Satz erklärt nichts, er beschreibt, das für n-> Unendlich eine Annäherung an die Normalverteilung stattfindet.
Du hattest gefragt, warum denn n sehr groß sein muss, ich hatte das mit dem zentralen Grenzwertsatz begründet.
Du kannst das auch gerne mal selbst ausprobieren:
Die Summe von n Gleichverteilungen ergibt eine Binominalverteilung.
Für n -> Unendlich nähert sich die einer Normalverteilung an.
Programmier das mal, nimm als Beispiel n Mal würfeln. Ermittele die gemessenen Häufigkeiten.
Verwende einen geprüften Zufallszahlengenerator, bei Donald Knuth findet man welche.
Jeder kennt das von Würfelspielen:
Wie oft hat man den Eindruck, dass der Würfel nicht korrekt ist, weil zum Beispiel jemand 3 Mal hintereinander eine Sechs würfelt.
Man braucht sehr viele Würfe, um das zu überprüfen.
Du schreibst:
"Woran machst du dass fest? Die zwei Kurven (Männer, Frauen) sehen für sich
doch normalverteilt aus?"
Um mal polemisch zu werden: Die Gauss'sche Kurve wird als Glockenkurve bezeichnet.
Die Glocke würde ich nicht kaufen. Ich sehe sofort, dass die Kurve schief ist.
Leider haben die Mittelwert und Streuung nicht angegeben.
Die findet man anderswo:
Für Frauen:
Mittelwert 165,4 cm Streung: 4,5cm.
Wenn man sich nicht auf das Auge, sondern auf Berechnung verlässt, fällt sofort auf, auf dass der Mittelwert nicht mit dem Maximum zusammenfällt.
Das ist aber nicht das gröbste Problem.
5 Sigma wären 22,5cm.
Damit ist Mittelwert minus 4-5 Sigma 141,9-145,3 plus 4-5 Sigma 183,5-187,9
Bei Normalverteilung sollten nur 2.867865e-7 in einem der beiden Bereiche liegen.
Kaiserslautern hat ca. 100000 Einwohner.
Wenn ich durch die Stadt laufe, sehe ich alle Nase lang jemanden dessen Köpergröße erkennbar in diesem Bereich liegt.
Auch im Betrieb oder beim Sport treffe ich solche Menschen.
Das Hauptproblem bei der Normalverteilung ist, dass die Wahrscheinlichkeit zu schnell sinkt.
Das sieht man übrigens auch in der Graphik der Körpergrößen. Dazu braucht man aber etwas Erfahrung.
Ich finde Körpergrößen interessant, weil die ja die Folge eines Wachstumsprozesses ist, wie zum Beispiel auch die Sporengröße.
Jetzt komme ich noch zur Güte der statistischen Daten:
Da ist zunächst ein Mal der Nullpunkt abgeschnitten.
Eine der in "How to lie with statistics" benannten Methoden.
Das größere Problem ist aber folgendes:
Die Statistik wurde mit Hilfe freiwilliger Meldungen beim Mikrozensus erstellt.
Ein weiterer bekannter Trick: Diejenigen, die etwas angeben sind eine Auswahl, die einen "Bias" ergibt, einen systematischen Fehler.
Wer seine Größe als viel zu groß oder zu klein empfindet macht keine Meldung.
Ich war als Kind selbst ungewöhnlich klein, heute bin ich nur noch klein.
Ich litt darunter.
Ich kenne mehrere Leute, die als Erwachsene ungewöhnlich klein sind und die leider alle darunter und haben das wahrscheinlich nicht angegeben.
Jetzt übertrage ich das mal auf die Sporenmessung:
Was machst Du, wenn Du etwas findest, bei dem Du nicht sicher bist, ob das eine Spore der gesuchten Art ist?
Du hast da nur zwei schlechte Möglichkeiten.
Du misst nicht, dann machst Du einen Fehler, wenn das eine Spore der Art ist.
Du misst, dann machst Du einen Fehler, wenn es keine Spore der Art ist.
Man kann vermuten, dass das bevorzugte Vorgehen, von dem abhängt, der die Messung macht.
Wenn Du dann zum Beispiel geschätzte Mittelwerte und Streuungen aus Sporenmessungen verschiedener Menschen vergleichst, die dieselbe Art vor sich hatten, macht das ein Problem.
Du müsstest verschieden Menschen die gleichen Sporen messen lassen, um das abzuschätzen.

Ich habe noch etwas zu Herrn Gosset recherchiert:
William Sealy Gosset was an English statistician, chemist and brewer who worked for Guinness.
Gosset attended Winchester College before matriculating as Winchester Scholar in natural sciences and mathematics.
Er war also der Chefbrauer bei Guiness und hatte eine mathematische Ausbilung.
Als Techniker würde ich ihn nicht bezeichnen.
Da er wegen seines Arbeitgebers seine Ausführung nur anonym als "Student" veröffentlichen konnte, liegt folgendes nahe:
Er versuchte die Prozesse beim Brauen zu optimieren.
Die normale Vorgehensweise dabei ist:
Wir erstellen ein dynamisches Model des Prozesses, stellen Gleichungen auf und lassen die mathematischen Modelle darauf los.
Wie Otto Föllinger in seiner Optimierungsvorlesung erklärt hat, hat man aber manchmal kein gängiges mathematisches Modell.
Dann bleiben als letzte Rettung statistische Verfahren.
Gosset hatte dann noch mit dem Problem zu kämpfen, dass er nur kleine Stichprobenanzahlen hatte.
Leider gibt es für die Biologie nur sehr wenige gute mathematische Modelle.
Man sah das während Corona. Man hörte aller Orten von expotentiellem Wachstum.
Befragt Wissenschaftler fügten dann gerne noch hinzu:
"Gilt natürlich nur für eine begrenzte Zeit.
Deshalb können wir auch nur für einen begrenzten Zeitabschnitt Schätzungen abgeben."
Das einzige gute biologische Modell, das ich kenne, ist die Räuber - Beute Beziehung.
Tauchte auch bei Föllinger auf.
Herr Gosset wusste als guter Mathematiker, dass man nur etablierte Optimierungsansätze hat, wenn die Zufallsvariable normalverteilt ist.
Also prüfte er bei seinen Messreihen, ob etwas dagegen spricht, dass sie näherungsweise normalverteilt sind.
Wenn nein, verwendete er Optimierungsverfahren, die auf einer Normalverteilung beruhen.
Wie gut seine Ergebnisse waren, ist vermutlich Firmengeheimnis von Guiness.
Wie sagt aber ein Dozent auf der Uni in solchen Fällen: Besser ein dreckiger Hals als gar kein Hals.
Es ist also vollkommen in Ordnung, das zu versuchen.
Es ist aber nicht in Ordnung irgendwelche Wahrscheinlichkeiten zu benennen, wenn ich nicht sehr sicher bin, dass Normalverteilung vorliegt.
Dazu sollte man sehr viele Daten haben. Bei Sporenmessungen mit < 100 Messungen hat man die aber nicht.
Auch bei medizinischen Untersuchungen mit vielleicht 1000 Probanden kann man das nicht seriös machen.
Man kann Mittelwert und Streuung angeben oder Regressionsdiagramme zeigen, alles andere ist Kaffeesatzleserei.
Gruß,
Marcel